摘　要：有限的資源和隨機(jī)的需求是排隊(duì)論存在的基礎(chǔ)，而在如今的社會(huì)，這種現(xiàn)象越發(fā)廣泛和復(fù)雜。我們將要求服務(wù)的顧客和提供服務(wù)的機(jī)構(gòu)組合成一個(gè)系統(tǒng)，稱之為排隊(duì)系統(tǒng)。這種系統(tǒng)存在于各個(gè)方面，本文研究的是排隊(duì)論運(yùn)用在通信網(wǎng)絡(luò)中的各端業(yè)務(wù)問題。排隊(duì)論系統(tǒng)分為優(yōu)先制排隊(duì)系統(tǒng)和非優(yōu)先制排隊(duì)系統(tǒng)，本文描述了帶有非強(qiáng)占權(quán)優(yōu)先制的排隊(duì)系統(tǒng)，其模型為兩隊(duì)中其中一對帶有優(yōu)先制度的M/M/1的模型。根據(jù)此模型可以定義變量，畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖并列出狀態(tài)方程，最后求出穩(wěn)態(tài)解。通過性能分析發(fā)現(xiàn)，帶有優(yōu)先權(quán)的M/M/1模型系統(tǒng)與一般模型相比性能將會(huì)有所提高，這也是優(yōu)先制度的體現(xiàn)。
關(guān)鍵詞：排隊(duì)論　狀態(tài)轉(zhuǎn)移　M/M/1模型
 1　規(guī)定系統(tǒng)模型
    在實(shí)際問題中，選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ停欣诟玫慕鉀Q問題。這里我們采用的是帶優(yōu)先制度的M/M/1模型。當(dāng)有n個(gè)業(yè)務(wù)公用一條線路時(shí)，事先規(guī)定好各自的優(yōu)先級。本文采用的優(yōu)先制度為：隊(duì)伍中有n個(gè)業(yè)務(wù)公用一條線路，優(yōu)先級高的一對享有優(yōu)先權(quán)，只要線路有空閑時(shí)即可占用，而優(yōu)先級別低的必須在優(yōu)先級高的隊(duì)伍無呼叫等待且線路空閑時(shí)才能占用線路，但不會(huì)強(qiáng)行中斷正在占用線路的用戶。這就是非強(qiáng)占權(quán)優(yōu)先制排隊(duì)系統(tǒng)。
 
2　定義狀態(tài)變量
    定義系統(tǒng)的變量是求解問題難易的關(guān)鍵，所選擇的變量要便于計(jì)算，其結(jié)果要有可用性。選擇的變量越多，維數(shù)越大，計(jì)算就越難復(fù)雜。通信網(wǎng)中業(yè)務(wù)分析常用的變量是隊(duì)長和占用線數(shù)等，并且通信網(wǎng)中業(yè)務(wù)分析趨于穩(wěn)態(tài)，很少涉及暫態(tài)，所以我們一般只求穩(wěn)態(tài)解。
    規(guī)定A隊(duì)列和B隊(duì)列，其中A隊(duì)有優(yōu)先權(quán)，B隊(duì)只能在A隊(duì)無等待著的呼叫時(shí)占用線路，占用后不會(huì)因?yàn)锳隊(duì)有呼叫而被強(qiáng)拆。
    系統(tǒng)狀態(tài)主要有兩個(gè)因素：線路的繁忙，A．B兩隊(duì)等待處理的呼叫數(shù)。令t為線路狀態(tài)，t =1表示線路占用，t=0表示線路空閑。r與s分別表示A．B兩隊(duì)中等待的呼叫數(shù)。r與s不包括正在傳輸?shù)暮艚校驗(yàn)楹笳呖赡苁茿隊(duì)的，也可能是B隊(duì)的。其中，兩隊(duì)的到達(dá)率分別為 和 ，服務(wù)率為 。
 
3　列出狀態(tài)方程
   對于M/M系統(tǒng)，可先畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，直接用柯式方程列出狀態(tài)方程。從一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖可以清楚的看出某個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率，這種方法簡單明了，便于分析問題并列出狀態(tài)方程。
   當(dāng)系統(tǒng)空閑時(shí)，即t =0，r與s也為0，稱之為“0”狀態(tài)。當(dāng)t =1時(shí)，用二維矢量（r，s）代表系統(tǒng)狀態(tài)。兩隊(duì)的截止隊(duì)長（不包括正在傳輸?shù)暮艚校┓謩e為和。狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖1所示。


                  圖1　非強(qiáng)占權(quán)優(yōu)先制系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖
 
   圖1中所體現(xiàn)出來的優(yōu)先制度為：當(dāng)r>0時(shí)，（r,s+1）狀態(tài)不能轉(zhuǎn)移到（r,s）狀態(tài)，因?yàn)橐坏┯芯€路空閑，A隊(duì)就會(huì)占用線路，就轉(zhuǎn)移到（r-1,s+1）狀態(tài)。由圖1可寫出穩(wěn)態(tài)下的系統(tǒng)狀態(tài)方程：
r =s =t =0：                               
t =1, r =0, s<：                       
t =1, s =0, r<：                      
 
t =1, > r> 0, > s> 0       
 
t =1, r =, s<：                 
t =1, s =, r< ：               
t =1, s =, r =：                 
 
歸一條件：
                                    
在上述方程中，如果r和s出現(xiàn)負(fù)數(shù)，理解為為0。上述所有公式即為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，這些方程構(gòu)成一個(gè)二維的差分方程，求解很麻煩。
 
4　求解穩(wěn)態(tài)狀態(tài)方程
   設(shè)A隊(duì)為不拒絕型的，即；B隊(duì)是及時(shí)拒絕型的，即，亦即s為0。狀態(tài)方程可簡化為：
                                         
                 
   最后求解出：
                                    
5　性能分析
由求解出的 可以得到B隊(duì)的拒絕概率：
                                   
信道利用率：
                                      
  上述中
                 
 
其中A隊(duì)的平均等待時(shí)間為：
                                  
 
    現(xiàn)在來分析標(biāo)準(zhǔn)M/M/1系統(tǒng)的性能。對于標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1系統(tǒng)，即B隊(duì)是不存在的，平均時(shí)間為：
                              
                    
信道利用率：    
                 
                        
可以明顯看出，利用優(yōu)先制度，再加上B隊(duì)列，A隊(duì)的平均等待時(shí)間將會(huì)增長，信道利用率也會(huì)提高。這就表明，信道利用率的提高將會(huì)帶來的后果是優(yōu)先隊(duì)列的等待時(shí)間增長。
 
參考文獻(xiàn)：
[1]周炯槃.通信網(wǎng)理論基礎(chǔ)（修訂版）[M].北京：人民郵電出版社，2009.
[2]